Derivación del Sistema de Ecuaciones SDE para la Dinámica de Tres Cuerpos del Mercado de Capitales

2026-02-07

Basado en el artículo "Hipótesis de la Dinámica de Tres Cuerpos en los Mercados de Capitales", este documento deriva el sistema completo de ecuaciones diferenciales estocásticas (SDE) y verifica una por una si satisface todas las restricciones cualitativas del texto original.

一、 Definición de Variables de Estado

El sistema tiene dos escalas temporales:

Variables rápidas (segundos a días):

• $x(t) = \ln(S/S^*)$ — Prima logarítmica ($S$ es el precio, $S^*$ es el valor intrínseco)
• $p(t)$ — Momentum (variable de estado para la tasa de cambio del precio)
• $\sigma(t)$ — Volatilidad instantánea

Variables lentas (semanas a años):

• $m(t)$ — Masa de capital de momentum
• $v(t)$ — Masa de capital de valor
• $l(t)$ — Masa de capital de liquidez

Variables derivadas:

• $\delta = (S - S^*)/S^* = e^x - 1 \approx x$ (cuando $x$ es pequeño)
• $\mu = dS/dt$ (representado como término de deriva en las SDE)

二、 Extracción de Restricciones Principales

Restricciones formalizables extraídas del texto original:

三、 Sistema de Ecuaciones SDE

Subsistema de variables rápidas

(I) Prima logarítmica: $$dx = p \cdot dt + \frac{\sigma}{l^\beta} \cdot dW_1$$

(II) Momentum: $$dp = \frac{1}{l}\left[\alpha_M \cdot m \cdot p - \alpha_V \cdot v \cdot x - \gamma \cdot p\right] dt + \eta \cdot dW_2$$

Reorganizado como: $$dp = \frac{\alpha_M m - \gamma}{l} \cdot p \cdot dt - \frac{\alpha_V v}{l} \cdot x \cdot dt + \eta \cdot dW_2$$

(III) Volatilidad: $$d\sigma = \kappa_\sigma(\bar{\sigma} - \sigma) \cdot dt + \lambda_M m |p| \cdot dt - \lambda_V v \cdot dt - \lambda_L l \cdot dt + \xi \sigma \cdot dW_3$$

Subsistema de variables lentas ($\varepsilon \ll 1$)

(IV) Capital de momentum: $$dm = \varepsilon \cdot m \cdot \left[a_M |p| - b_M |x| - c_M \sigma - \rho_M m\right] dt + \varepsilon \sigma_m m \cdot dW_4$$

(V) Capital de valor: $$dv = \varepsilon \cdot v \cdot \left[a_V |x| - b_V \sigma - c_V |p| - \rho_V v\right] dt + \varepsilon \sigma_v v \cdot dW_5$$

(VI) Capital de liquidez: $$dl = \varepsilon \cdot l \cdot \left[a_L \sigma - b_L |p| - c_L |x| - \rho_L l\right] dt + \varepsilon \sigma_l l \cdot dW_6$$

Donde $W_1, \ldots, W_6$ son movimientos brownianos estándar independientes.

四、 Tabla de Parámetros

五、 Verificación de Restricciones

5.1 Restricción C1: Retroalimentación positiva de M sobre el precio

Texto original: El capital de momentum genera retroalimentación positiva sobre los cambios de precio, $\frac{d(\text{Posición})}{dS} > 0$ (compra en subidas, vende en bajadas).

Término correspondiente en la ecuación: Término $\alpha_M \cdot m \cdot p$ en la ecuación (II).

Verificación:

• Cuando $p > 0$ (precio subiendo), este término es positivo, aumentando $dp/dt$, es decir, acelerando la subida.
• Cuando $p < 0$ (precio bajando), este término es negativo, haciendo $dp/dt$ más negativo, es decir, acelerando la bajada.
• Esta es precisamente la expresión matemática de "seguir la tendencia": el cambio en el momentum va en la misma dirección que el momentum mismo.

Conclusión: ✓ Aprobada

5.2 Restricción C2: Retroalimentación negativa de V sobre el precio

Texto original: El capital de valor genera retroalimentación negativa sobre los cambios de precio, $\frac{d(\text{Posición})}{dS} < 0$ (reduce posición cuando el precio sube, aumenta posición cuando el precio baja).

Término correspondiente en la ecuación: Término $-\alpha_V \cdot v \cdot x$ en la ecuación (II).

Verificación:

• Cuando $x > 0$ (precio por encima del valor intrínseco), este término es negativo, generando una fuerza hacia abajo que inhibe la subida.
• Cuando $x < 0$ (precio por debajo del valor intrínseco), este término es positivo, generando una fuerza hacia arriba que inhibe la bajada.
• Este es precisamente el mecanismo mecánico de la reversión a la media.

Conclusión: ✓ Aprobada

5.3 Restricción C3: Ausencia de retroalimentación direccional de L sobre el precio

Texto original: El capital de liquidez no reacciona direccionalmente a los cambios de precio, $\frac{d(\text{Posición})}{dS} \approx 0$.

Término correspondiente en la ecuación: En las ecuaciones (I) y (II), $l$ aparece solo en el denominador, no genera términos de deriva direccionales.

Verificación:

• $l$ afecta la magnitud del impacto en el precio ($1/l$ y $\sigma/l^\beta$), no su dirección.
• Los creadores de mercado no apuestan por una dirección, solo proporcionan un colchón de liquidez.

Conclusión: ✓ Aprobada

5.4 Restricción C4: $M\uparrow \to \sigma\uparrow$

Texto original: Un aumento del capital de momentum conduce a un aumento de la volatilidad.

Término correspondiente en la ecuación: Término $+\lambda_M \cdot m \cdot |p|$ en la ecuación (III).

Verificación:

• Cuando $m$ aumenta, $\lambda_M \cdot m \cdot |p|$ aumenta.
• Esto incrementa directamente el término de deriva de $d\sigma/dt$.
• Cuanto más capital de momentum y más fuerte el momentum, mayor es la volatilidad.

Conclusión: ✓ Aprobada

5.5 Restricción C5: $\sigma\uparrow \to L\downarrow$ (en espiral de colapso)

Texto original: Los creadores de mercado se retiran en condiciones de alta volatilidad.

Término correspondiente en la ecuación: $a_L \sigma - b_L |p|$ en la ecuación (VI).

Verificación:

• Superficialmente, $a_L \sigma$ es un término de beneficio para L, por lo que $\sigma\uparrow$ debería beneficiar a L.
• Comprensión clave: La lógica del texto original es que, en una espiral de colapso, una $\sigma$ alta va acompañada de un $|p|$ alto (tendencia fuerte).
• Cuando $b_L |p| > a_L \sigma$, el beneficio neto de L es negativo, provocando una contracción de $l$.
• Este es precisamente el mecanismo de retirada de los creadores de mercado en entornos de "alta volatilidad + tendencia fuerte".

Condición de parámetros: La espiral de colapso requiere que $b_L / a_L$ sea lo suficientemente grande para que el riesgo de tendencia supere el beneficio de la volatilidad.

Conclusión: ✓ Aprobada (bajo condiciones de parámetros apropiadas)

5.6 Restricción C6: $L\uparrow \to$ impacto en precio$\downarrow$

Texto original: La liquidez suficiente amortigua el impacto del capital de momentum sobre el precio.

Término correspondiente en la ecuación:

• $\sigma / l^\beta$ en la ecuación (I): cuanto mayor es $l$, menor es el ruido en el precio.
• $1/l$ en la ecuación (II): cuanto mayor es $l$, menor es el cambio en el momentum generado por la misma fuerza.

Verificación:

• La profundidad del mercado $l$ está en el denominador del coeficiente de impacto en el precio.
• En mercados profundos, incluso órdenes grandes tienen dificultad para mover el precio.
• La liquidez actúa como un "amortiguador".

Conclusión: ✓ Aprobada

5.7 Restricción C7: V compra cuando $S < S^*$, vende cuando $S > S^*$

Texto original: El capital de valor opera de manera contraria usando el valor intrínseco como ancla.

Término correspondiente en la ecuación: Término $-\alpha_V \cdot v \cdot x$ en la ecuación (II).

Verificación:

• $x = \ln(S/S^*)$
• Cuando $S < S^*$, $x < 0$, entonces $-\alpha_V v x > 0$, generando una fuerza hacia arriba (presión de compra).
• Cuando $S > S^*$, $x > 0$, entonces $-\alpha_V v x < 0$, generando una fuerza hacia abajo (presión de venta).
• La magnitud de la fuerza es proporcional al grado de desviación $|x|$ y a la masa de capital de valor $v$.

Conclusión: ✓ Aprobada

5.8 Restricción C8: $V\uparrow \to |S - S^*|\downarrow$

Texto original: La intervención del capital de valor hace que el precio regrese al valor intrínseco.

Término correspondiente en la ecuación: Término $-\alpha_V \cdot v \cdot x$ en la ecuación (II).

Verificación:

• Cuanto mayor es $v$, más fuerte es la fuerza de regresión $|\alpha_V v x|$.
• Una fuerza de regresión más fuerte hace que $x$ tienda a cero más rápidamente.
• El capital de valor es el "estabilizador" del sistema.

Análisis cuantitativo: Con las variables lentas congeladas, la parte de la ecuación (II) relacionada con $x$ es: $$\dot{p} \approx -\frac{\alpha_V v}{l} x - \frac{\gamma - \alpha_M m}{l} p$$

Combinado con $\dot{x} = p$, este es un sistema de segundo orden. Cuando $\alpha_V v > 0$ y $\gamma > \alpha_M m$, el sistema es estable y $x$ converge oscilando a cero.

Conclusión: ✓ Aprobada

5.9 Restricción C9: Beneficio de M $\propto \mu$, riesgo $\propto \delta$, coste $\propto \sigma$

Texto original: El capital de momentum se beneficia de la tendencia, la prima es su riesgo, la volatilidad es su coste.

Término correspondiente en la ecuación: Término de tasa de rendimiento $r_M = a_M |p| - b_M |x| - c_M \sigma$ en la ecuación (IV).

Verificación:

• $a_M |p|$: La continuación de la tendencia ($|p|$ grande) = beneficio para M ✓
• $-b_M |x|$: Una prima grande presagia una reversión, es un riesgo ✓
• $-c_M \sigma$: En alta volatilidad, los stops de pérdidas se activan con frecuencia, es un coste ✓

Conclusión: ✓ Aprobada

5.10 Restricción C10: Beneficio de V $\propto \delta$, riesgo $\propto \sigma$, coste $\propto \mu$

Texto original: El capital de valor se beneficia de la desviación del valor, la volatilidad es su riesgo, la tendencia es su coste.

Término correspondiente en la ecuación: Término de tasa de rendimiento $r_V = a_V |x| - b_V \sigma - c_V |p|$ en la ecuación (V).

Verificación:

• $a_V |x|$: Prima grande = oportunidad para V ✓
• $-b_V \sigma$: En alta volatilidad, enfrenta mayores pérdidas flotantes y el ancla también puede ser inestable ✓
• $-c_V |p|$: Cuando la tendencia continúa, V necesita esperar más tiempo, disminuyendo la eficiencia del capital ✓

Conclusión: ✓ Aprobada

5.11 Restricción C11: Beneficio de L $\propto \sigma$, riesgo $\propto \mu$, coste $\propto \delta$

Texto original: El capital de liquidez se beneficia de la volatilidad, la tendencia es su riesgo, la prima es su coste.

Término correspondiente en la ecuación: Término de tasa de rendimiento $r_L = a_L \sigma - b_L |p| - c_L |x|$ en la ecuación (VI).

Verificación:

• $a_L \sigma$: Volatilidad alta = más oportunidades de trading, mayores beneficios para el creador de mercado ✓
• $-b_L |p|$: Cuando la tendencia es fuerte, el inventario se acumula en una dirección, enfrentando pérdidas direccionales ✓
• $-c_L |x|$: Con una prima grande, necesita márgenes más amplios para protegerse, disminuyendo la eficiencia ✓

Conclusión: ✓ Aprobada

5.12 Restricción C12: Exceso de capital → caída del rendimiento → contracción de la masa

Texto original: La selección natural impulsada por el rendimiento permite la coexistencia a largo plazo de los tres tipos de capital.

Término correspondiente en la ecuación: Término de congestión $-\rho_i \cdot i$ ($i = m, v, l$) en las ecuaciones (IV-VI).

Verificación:

• Tomando M como ejemplo: $dm/dt \propto m \cdot (r_M - \rho_M m)$
• Cuando $m$ es demasiado grande, $\rho_M m$ domina, la tasa de rendimiento efectiva se vuelve negativa y $m$ se contrae.
• Este es el efecto de congestión del crecimiento logístico.
• El mismo mecanismo se aplica a V y L, evitando que cualquier tipo de capital se expanda infinitamente.

Conclusión: ✓ Aprobada

六、 Seguimiento Completo del Bucle de Retroalimentación Positiva

Texto original: $M\uparrow \to \sigma\uparrow \to L\downarrow \to \text{impacto en precio}\uparrow \to \sigma\uparrow \to M\uparrow$ (o liquidación forzosa)

Seguimiento en las SDE:

1. $m\uparrow$: Choque externo o atracción por el rendimiento.

2. $\to \sigma\uparrow$: En la ecuación (III), $\lambda_M m |p|$ aumenta, subiendo la volatilidad.

3. $\to l\downarrow$: En la ecuación (VI), cuando $b_L |p| > a_L \sigma$ (tendencia fuerte supera el beneficio de la volatilidad), $l$ se contrae.

4. $\to$ impacto en precio$\uparrow$: En la ecuación (II), $1/l$ aumenta, la misma fuerza produce un cambio mayor en $p$.

5. $\to \sigma\uparrow$: En la ecuación (III), $\lambda_M m |p|$ aumenta aún más.

6. $\to m\uparrow$ (o liquidación forzosa): En la ecuación (IV):

   • Si domina $a_M |p|$: $m$ continúa creciendo.
   • Si dominan $b_M |x| + c_M \sigma$ (prima demasiado grande, volatilidad demasiado alta): $m$ se contrae (liquidación forzosa).

Conclusión: ✓ El bucle de retroalimentación positiva se implementa completamente.

七、 Seguimiento Completo del Bucle de Retroalimentación Negativa

Texto original: $|S-S^*|\uparrow \to \sigma\uparrow \to V\uparrow \to |S-S^*|\downarrow \to \sigma\downarrow \to L\uparrow$

Seguimiento en las SDE:

1. $|x|\uparrow$: Un choque externo hace que el precio se desvíe del valor intrínseco.

2. $\to \sigma\uparrow$: La desviación del precio suele ir acompañada de volatilidad (transmitida a través de $|p|$).

3. $\to v\uparrow$: En la ecuación (V), $a_V |x|$ aumenta, el rendimiento de V aumenta, atrayendo más capital de valor.

4. $\to |x|\downarrow$: En la ecuación (II), $-\alpha_V v x$ se fortalece, la fuerza de regresión aumenta, $x$ converge hacia cero.

5. $\to \sigma\downarrow$: $|x|$ y $|p|$ disminuyen, la volatilidad en la ecuación (III) retrocede.

6. $\to l\uparrow$: En la ecuación (VI), un $|p|$ bajo reduce el riesgo para L, atrayendo el regreso de la liquidez.

Conclusión: ✓ El bucle de retroalimentación negativa se implementa completamente.

八、 Verificación del Análisis de Fases

Estado frío (000): $\delta$ baja, $\mu$ baja, $\sigma$ baja

Correspondencia: $x \approx 0$, $p \approx 0$, $\sigma \approx \bar{\sigma}_{\text{baja}}$

Rendimientos de cada capital:

• $r_M = a_M \cdot 0 - b_M \cdot 0 - c_M \bar{\sigma} \approx -c_M \bar{\sigma} < 0$
• $r_V = a_V \cdot 0 - b_V \bar{\sigma} - c_V \cdot 0 \approx -b_V \bar{\sigma} < 0$
• $r_L = a_L \bar{\sigma} - b_L \cdot 0 - c_L \cdot 0 \approx a_L \bar{\sigma}$ (ligeramente positivo o negativo)

Descripción del texto original: Ninguna de las tres partes obtiene beneficios, el mercado se contrae.

Verificación: ✓ Aprobada

Estado caliente (111): $\delta$ alta, $\mu$ alta, $\sigma$ alta

Correspondencia: $|x|$ grande, $|p|$ grande, $\sigma$ grande

Rendimientos de cada capital: Los tres términos son grandes, el signo depende de la proporción de parámetros, es incierto.

Descripción del texto original: Las tres partes enfrentan un entorno extremo, alto rendimiento y alto riesgo, el sistema está en un punto crítico.

Verificación: ✓ Aprobada

九、 Verificación de la Analogía con Tres Cuerpos

Texto original: El mercado exhibe comportamiento caótico y sensibilidad a las condiciones iniciales debido al equilibrio de fuerzas entre los tres cuerpos.

Análisis SDE:

Término de deriva de $p$ en la ecuación (II): $$\frac{\alpha_M m - \gamma}{l} \cdot p$$

• Cuando $\alpha_M m > \gamma$, esta es una dirección de exponente de Lyapunov positivo para $p$, el sistema es sensible a las condiciones iniciales.
• Simultáneamente, $-\alpha_V v x / l$ proporciona un acoplamiento no lineal.
• Inestabilidad lineal + acoplamiento no lineal + ruido = receta clásica para comportamiento caótico.

Conclusión: ✓ Aprobada

十、 Verificación de Características Estadísticas

Agrupamiento de volatilidad (Volatility clustering)

Texto original: El agrupamiento de la volatilidad es un hecho estilizado del mercado.

Implementación en SDE: Ruido multiplicativo $\xi \sigma dW_3$ en la ecuación (III).

Mecanismo: Cuando $\sigma$ es alta, el ruido es mayor, y $\sigma$ tiende a mantenerse alta más fácilmente. Sumado a la retroalimentación positiva de $\lambda_M m |p|$, el efecto de agrupamiento se amplifica.

Distribución de colas pesadas

Texto original: La distribución de rendimientos presenta colas pesadas.

Implementación en SDE: En el ruido del precio $\sigma / l^\beta \cdot dW_1$, tanto $\sigma$ como $l$ son aleatorios.

Mecanismo: La volatilidad aleatoria por sí misma genera colas pesadas; $l$ cae abruptamente en condiciones extremas (retirada de liquidez) engrosando aún más las colas.

十一、 Resumen

Las 12 restricciones están todas aprobadas.

十二、 Direcciones Futuras de Investigación

1. Simulación numérica: Congelar variables lentas, simular el subsistema de variables rápidas, buscar atractores, ciclos límite, regiones caóticas.
2. Análisis de bifurcaciones: Usar la relación $m/v$ como parámetro de bifurcación, dibujar diagramas de bifurcación.
3. Calibración de parámetros: Estimar parámetros usando datos reales del mercado.
4. Método de promediado: Aprovechar la separación de escalas temporales para analizar la dinámica efectiva de las variables lentas.