資本市場三体力学 SDE 方程式系の導出

2026年2月7日

『資本市場の三体力学仮説』に基づき、本稿では完全な確率微分方程式（SDE）系を導出し、原文のすべての定性的制約を満たすかどうかを逐一検証します。

一、状態変数の定義

システムには2つの時間スケールがあります：

速い変数（秒から日）：

• $x(t) = \ln(S/S^*)$ — 対数プレミアム（$S$ は価格、$S^*$ は内在価値）
• $p(t)$ — モメンタム（価格変化率の状態変数）
• $\sigma(t)$ — 瞬間ボラティリティ

遅い変数（週から年）：

• $m(t)$ — モメンタム資本の規模
• $v(t)$ — バリュー資本の規模
• $l(t)$ — 流動性資本の規模

派生変数：

• $\delta = (S - S^*)/S^* = e^x - 1 \approx x$（$x$ が小さい場合）
• $\mu = dS/dt$（SDE ではドリフト項として表現）

二、核心制約の抽出

原文から形式化可能な制約を抽出：

三、SDE 方程式系

速い変数サブシステム

(I) 対数プレミアム： $$dx = p \cdot dt + \frac{\sigma}{l^\beta} \cdot dW_1$$

(II) モメンタム： $$dp = \frac{1}{l}\left[\alpha_M \cdot m \cdot p - \alpha_V \cdot v \cdot x - \gamma \cdot p\right] dt + \eta \cdot dW_2$$

整理すると： $$dp = \frac{\alpha_M m - \gamma}{l} \cdot p \cdot dt - \frac{\alpha_V v}{l} \cdot x \cdot dt + \eta \cdot dW_2$$

(III) ボラティリティ： $$d\sigma = \kappa_\sigma(\bar{\sigma} - \sigma) \cdot dt + \lambda_M m |p| \cdot dt - \lambda_V v \cdot dt - \lambda_L l \cdot dt + \xi \sigma \cdot dW_3$$

遅い変数サブシステム（$\varepsilon \ll 1$）

(IV) モメンタム資本： $$dm = \varepsilon \cdot m \cdot \left[a_M |p| - b_M |x| - c_M \sigma - \rho_M m\right] dt + \varepsilon \sigma_m m \cdot dW_4$$

(V) バリュー資本： $$dv = \varepsilon \cdot v \cdot \left[a_V |x| - b_V \sigma - c_V |p| - \rho_V v\right] dt + \varepsilon \sigma_v v \cdot dW_5$$

(VI) 流動性資本： $$dl = \varepsilon \cdot l \cdot \left[a_L \sigma - b_L |p| - c_L |x| - \rho_L l\right] dt + \varepsilon \sigma_l l \cdot dW_6$$

ここで $W_1, \ldots, W_6$ は独立な標準ブラウン運動です。

四、パラメータ表

五、制約検証

5.1 制約 C1：M の価格への正帰還

原文：モメンタム資本は価格変化に対して正帰還を生み出す、$\frac{d(\text{ポジション})}{dS} > 0$（上昇時に買い、下落時に売る）。

方程式対応：方程式 (II) の $\alpha_M \cdot m \cdot p$ 項。

検証：

• $p > 0$（価格上昇）のとき、この項は正であり、$dp/dt$ を増加させる、すなわち上昇を加速する
• $p < 0$（価格下落）のとき、この項は負であり、$dp/dt$ をより負にする、すなわち下落を加速する
• これはまさに「順張り」の数学的表現である：モメンタムの変化はモメンタム自体と同じ方向

結論：✓ 合格

5.2 制約 C2：V の価格への負帰還

原文：バリュー資本は価格変化に対して負帰還を生み出す、$\frac{d(\text{ポジション})}{dS} < 0$（価格上昇時にポジションを減らし、価格下落時にポジションを増やす）。

方程式対応：方程式 (II) の $-\alpha_V \cdot v \cdot x$ 項。

検証：

• $x > 0$（価格が内在価値を上回る）のとき、この項は負であり、下方への力を生み出し、上昇を抑制する
• $x < 0$（価格が内在価値を下回る）のとき、この項は正であり、上方への力を生み出し、下落を抑制する
• これはまさに平均回帰の力学機構である

結論：✓ 合格

5.3 制約 C3：L の価格への無方向帰還

原文：流動性資本は価格変化に対して方向性のある反応を示さない、$\frac{d(\text{ポジション})}{dS} \approx 0$。

方程式対応：方程式 (I) および (II) において、$l$ は分母にのみ現れ、方向性のあるドリフト項を生み出さない。

検証：

• $l$ が影響するのは価格ショックの大きさ（$1/l$ および $\sigma/l^\beta$）であって、方向ではない
• マーケットメーカーは方向性を賭けず、流動性の緩衝を提供するのみ

結論：✓ 合格

5.4 制約 C4：$M\uparrow \to \sigma\uparrow$

原文：モメンタム資本の増加はボラティリティの上昇をもたらす。

方程式対応：方程式 (III) の $+\lambda_M \cdot m \cdot |p|$ 項。

検証：

• $m$ が増加すると、$\lambda_M \cdot m \cdot |p|$ が増加する
• これは $d\sigma/dt$ のドリフト項を直接増加させる
• モメンタム資本が多く、モメンタムが強いほど、ボラティリティは高くなる

結論：✓ 合格

5.5 制約 C5：$\sigma\uparrow \to L\downarrow$（崩壊スパイラル中）

原文：高ボラティリティ時にはマーケットメーカーが退避する。

方程式対応：方程式 (VI) の $a_L \sigma - b_L |p|$。

検証：

• 表面上は、$a_L \sigma$ は L の収益項であり、$\sigma\uparrow$ は L に利益をもたらすはずである
• 重要な理解：原文の論理は、崩壊スパイラルにおいて、高 $\sigma$ は高 $|p|$（強いトレンド）を伴うというものである
• $b_L |p| > a_L \sigma$ のとき、L の純収益は負となり、$l$ の縮小をもたらす
• これはまさに「高ボラティリティ＋強トレンド」環境下でのマーケットメーカー退避の機構である

パラメータ条件：崩壊スパイラルには、トレンドリスクがボラティリティ収益を上回るように $b_L / a_L$ が十分に大きい必要がある。

結論：✓ 合格（適切なパラメータ条件下で）

5.6 制約 C6：$L\uparrow \to$ 価格ショック$\downarrow$

原文：十分な流動性はモメンタム資本による価格へのショックを緩和する。

方程式対応：

• 方程式 (I) の $\sigma / l^\beta$：$l$ が大きいほど、価格ノイズは小さい
• 方程式 (II) の $1/l$：$l$ が大きいほど、同じ力によるモメンタム変化は小さい

検証：

• 市場深度 $l$ は価格ショック係数の分母である
• 深い市場では、大口注文でも価格を動かすことは難しい
• 流動性は「ショックアブソーバー」である

結論：✓ 合格

5.7 制約 C7：V は $S < S^*$ で買い、$S > S^*$ で売る

原文：バリュー資本は内在価値をアンカーとして逆張り操作を行う。

方程式対応：方程式 (II) の $-\alpha_V \cdot v \cdot x$ 項。

検証：

• $x = \ln(S/S^*)$
• $S < S^*$ のとき、$x < 0$、この項 $-\alpha_V v x > 0$ は上方への力（買い圧力）を生み出す
• $S > S^*$ のとき、$x > 0$、この項 $-\alpha_V v x < 0$ は下方への力（売り圧力）を生み出す
• 力の大きさは乖離度 $|x|$ とバリュー資本規模 $v$ に比例する

結論：✓ 合格

5.8 制約 C8：$V\uparrow \to |S - S^*|\downarrow$

原文：バリュー資本の介入は価格を内在価値に回帰させる。

方程式対応：方程式 (II) の $-\alpha_V \cdot v \cdot x$ 項。

検証：

• $v$ が大きいほど、回帰力 $|\alpha_V v x|$ は強い
• 強い回帰力は $x$ をより速くゼロに近づける
• バリュー資本はシステムの「安定化装置」である

定量的分析：遅い変数を凍結した場合、方程式 (II) の $x$ に関する部分は： $$\dot{p} \approx -\frac{\alpha_V v}{l} x - \frac{\gamma - \alpha_M m}{l} p$$

$\dot{x} = p$ と組み合わせると、これは2次システムである。$\alpha_V v > 0$ かつ $\gamma > \alpha_M m$ のとき、システムは安定で、$x$ は振動しながらゼロに収束する。

結論：✓ 合格

5.9 制約 C9：M の収益 $\propto \mu$、リスク $\propto \delta$、コスト $\propto \sigma$

原文：モメンタム資本はトレンドから利益を得、プレミアムはリスク、ボラティリティはコストである。

方程式対応：方程式 (IV) の収益率項 $r_M = a_M |p| - b_M |x| - c_M \sigma$。

検証：

• $a_M |p|$：トレンド継続（$|p|$ 大）= M の利益 ✓
• $-b_M |x|$：プレミアム大は反転の予兆であり、リスク ✓
• $-c_M \sigma$：高ボラティリティ時にはストップロスが頻発し、コスト ✓

結論：✓ 合格

5.10 制約 C10：V の収益 $\propto \delta$、リスク $\propto \sigma$、コスト $\propto \mu$

原文：バリュー資本は価値乖離から利益を得、ボラティリティはリスク、トレンドはコストである。

方程式対応：方程式 (V) の収益率項 $r_V = a_V |x| - b_V \sigma - c_V |p|$。

検証：

• $a_V |x|$：プレミアム大 = V の機会 ✓
• $-b_V \sigma$：高ボラティリティ時には評価損が大きくなり、アンカーも不安定になりうる ✓
• $-c_V |p|$：トレンド継続時には V はより長く待つ必要があり、資金効率が低下する ✓

結論：✓ 合格

5.11 制約 C11：L の収益 $\propto \sigma$、リスク $\propto \mu$、コスト $\propto \delta$

原文：流動性資本はボラティリティから利益を得、トレンドはリスク、プレミアムはコストである。

方程式対応：方程式 (VI) の収益率項 $r_L = a_L \sigma - b_L |p| - c_L |x|$。

検証：

• $a_L \sigma$：ボラティリティ大 = 取引機会多、マーケットメイク収益高 ✓
• $-b_L |p|$：トレンド強時には在庫が一方向に蓄積し、方向性損失に直面する ✓
• $-c_L |x|$：プレミアム大時には自己防衛のためより大きなスプレッドが必要となり、効率が低下する ✓

結論：✓ 合格

5.12 制約 C12：資本過剰 → 収益率低下 → 規模縮小

原文：収益率駆動の自然選択により、三種類の資本は長期的に共存する。

方程式対応：方程式 (IV-VI) の混雑項 $-\rho_i \cdot i$（$i = m, v, l$）。

検証：

• M を例にとる：$dm/dt \propto m \cdot (r_M - \rho_M m)$
• $m$ が過大になると、$\rho_M m$ が支配的となり、実効収益率は負に転じ、$m$ は縮小する
• これはロジスティック成長の混雑効果である
• 同じ機構が V と L にも適用され、いずれかの資本が無限に膨張するのを防ぐ

結論：✓ 合格

六、正帰還ループの完全な追跡

原文：$M\uparrow \to \sigma\uparrow \to L\downarrow \to \text{価格ショック}\uparrow \to \sigma\uparrow \to M\uparrow$（または暴落）

SDE 追跡：

1. $m\uparrow$：外部ショックまたは収益率による吸引

2. $\to \sigma\uparrow$：方程式 (III) の $\lambda_M m |p|$ が増加、ボラティリティ上昇

3. $\to l\downarrow$：方程式 (VI) において、$b_L |p| > a_L \sigma$ のとき（強トレンドがボラティリティ収益を上回る）、$l$ が縮小

4. $\to$ 価格ショック$\uparrow$：方程式 (II) の $1/l$ が増加、同じ力でより大きな $p$ の変化が生じる

5. $\to \sigma\uparrow$：方程式 (III) の $\lambda_M m |p|$ がさらに増加

6. $\to m\uparrow$（または暴落）：方程式 (IV) において：

   • $a_M |p|$ が支配的の場合：$m$ は成長を継続
   • $b_M |x| + c_M \sigma$ が支配的の場合（プレミアム過大、ボラティリティ過高）：$m$ は縮小（暴落）

結論：✓ 正帰還ループは完全に実現されている

七、負帰還ループの完全な追跡

原文：$|S-S^*|\uparrow \to \sigma\uparrow \to V\uparrow \to |S-S^*|\downarrow \to \sigma\downarrow \to L\uparrow$

SDE 追跡：

1. $|x|\uparrow$：外部ショックにより価格が内在価値から乖離

2. $\to \sigma\uparrow$：価格乖離は通常ボラティリティを伴う（$|p|$ を介して伝播）

3. $\to v\uparrow$：方程式 (V) の $a_V |x|$ が増加、V の収益が増加し、より多くのバリュー資本を吸引

4. $\to |x|\downarrow$：方程式 (II) の $-\alpha_V v x$ が強化、回帰力が増大し、$x$ はゼロに収束

5. $\to \sigma\downarrow$：$|x|$ と $|p|$ が減少、方程式 (III) のボラティリティが低下

6. $\to l\uparrow$：方程式 (VI) において、低 $|p|$ は L のリスクを低下させ、流動性の回帰を吸引

結論：✓ 負帰還ループは完全に実現されている

八、相状態分析の検証

冷状態（000）：$\delta$ 低, $\mu$ 低, $\sigma$ 低

対応：$x \approx 0$, $p \approx 0$, $\sigma \approx \bar{\sigma}_{\text{low}}$

各資本収益率：

• $r_M = a_M \cdot 0 - b_M \cdot 0 - c_M \bar{\sigma} \approx -c_M \bar{\sigma} < 0$
• $r_V = a_V \cdot 0 - b_V \bar{\sigma} - c_V \cdot 0 \approx -b_V \bar{\sigma} < 0$
• $r_L = a_L \bar{\sigma} - b_L \cdot 0 - c_L \cdot 0 \approx a_L \bar{\sigma}$（微正または微負）

原文の記述：三者ともに利益を得られず、市場は縮小する。

検証：✓ 合格

熱状態（111）：$\delta$ 高, $\mu$ 高, $\sigma$ 高

対応：$|x|$ 大, $|p|$ 大, $\sigma$ 大

各資本収益率：三項とも大きく、符号はパラメータ比率に依存し、不確定。

原文の記述：三者ともに極端な環境に直面し、高収益高リスク、システムは臨界点にある。

検証：✓ 合格

九、三体類推の検証

原文：市場は三体が拮抗するためにカオス的振る舞いを示し、初期値に敏感である。

SDE 分析：

方程式 (II) の $p$ のドリフト項： $$\frac{\alpha_M m - \gamma}{l} \cdot p$$

• $\alpha_M m > \gamma$ のとき、これは $p$ の正のリアプノフ指数方向であり、システムは初期値に敏感
• 同時に $-\alpha_V v x / l$ が非線形結合を提供
• 線形不安定 + 非線形結合 + ノイズ = カオス的振る舞いの古典的レシピ

結論：✓ 合格

十、統計的特性の検証

ボラティリティ・クラスタリング

原文：ボラティリティ・クラスタリングは市場の様式化された事実である。

SDE 実装：方程式 (III) の $\xi \sigma dW_3$ の乗法的ノイズ。

機構：高 $\sigma$ 時にはノイズが大きく、$\sigma$ は高水準を維持しやすい。$\lambda_M m |p|$ の正帰還と相まって、クラスタリング効果は増幅される。

ファットテール分布

原文：収益率分布はファットテールを示す。

SDE 実装：価格ノイズ $\sigma / l^\beta \cdot dW_1$ において、$\sigma$ と $l$ はともに確率的である。

機構：確率的ボラティリティ自体がファットテールを生み出す；$l$ が極端な状況で急落する（流動性退避）ことがテールをさらに厚くする。

十一、まとめ

12 の制約すべてに合格。

十二、今後の研究方向

1. 数値シミュレーション：遅い変数を固定し、速い変数サブシステムをシミュレートし、アトラクター、リミットサイクル、カオス領域を探索する
2. 分岐解析：$m/v$ 比率を分岐パラメータとして、分岐図を描く
3. パラメータ較正：実市場データを用いてパラメータを推定する
4. 平均化法：時間スケール分離を利用し、遅い変数の有効力学を解析する