资本市场三体动力学 SDE 方程组推导

2026-02-07

基于《资本市场的三体动力学假说》一文，本文推导出完整的随机微分方程（SDE）系统，并逐一验证其是否满足原文的所有定性约束。

一、状态变量定义

系统有两个时间尺度：

快变量（秒到天）：

• $x(t) = \ln(S/S^*)$ — 对数溢价（$S$ 为价格，$S^*$ 为内在价值）
• $p(t)$ — 动量（价格变化率的状态变量）
• $\sigma(t)$ — 瞬时波动率

慢变量（周到年）：

• $m(t)$ — 动量资本体量
• $v(t)$ — 价值资本体量
• $l(t)$ — 流动性资本体量

派生变量：

• $\delta = (S - S^*)/S^* = e^x - 1 \approx x$（当 $x$ 较小时）
• $\mu = dS/dt$（在 SDE 中体现为漂移项）

二、核心约束提取

从原文提取的可形式化约束：

三、SDE 方程组

快变量子系统

(I) 对数溢价： $$dx = p \cdot dt + \frac{\sigma}{l^\beta} \cdot dW_1$$

(II) 动量： $$dp = \frac{1}{l}\left[\alpha_M \cdot m \cdot p - \alpha_V \cdot v \cdot x - \gamma \cdot p\right] dt + \eta \cdot dW_2$$

整理为： $$dp = \frac{\alpha_M m - \gamma}{l} \cdot p \cdot dt - \frac{\alpha_V v}{l} \cdot x \cdot dt + \eta \cdot dW_2$$

(III) 波动率： $$d\sigma = \kappa_\sigma(\bar{\sigma} - \sigma) \cdot dt + \lambda_M m |p| \cdot dt - \lambda_V v \cdot dt - \lambda_L l \cdot dt + \xi \sigma \cdot dW_3$$

慢变量子系统（$\varepsilon \ll 1$）

(IV) 动量资本： $$dm = \varepsilon \cdot m \cdot \left[a_M |p| - b_M |x| - c_M \sigma - \rho_M m\right] dt + \varepsilon \sigma_m m \cdot dW_4$$

(V) 价值资本： $$dv = \varepsilon \cdot v \cdot \left[a_V |x| - b_V \sigma - c_V |p| - \rho_V v\right] dt + \varepsilon \sigma_v v \cdot dW_5$$

(VI) 流动性资本： $$dl = \varepsilon \cdot l \cdot \left[a_L \sigma - b_L |p| - c_L |x| - \rho_L l\right] dt + \varepsilon \sigma_l l \cdot dW_6$$

其中 $W_1, \ldots, W_6$ 为独立标准布朗运动。

四、参数表

五、约束检验

5.1 约束 C1：M 对价格正反馈

原文：动量资本对价格变化产生正反馈，$\frac{d(\text{Position})}{dS} > 0$（涨时买入，跌时卖出）。

方程对应：方程 (II) 中的 $\alpha_M \cdot m \cdot p$ 项。

验证：

• 当 $p > 0$（价格上涨）时，该项为正，使 $dp/dt$ 增大，即加速上涨
• 当 $p < 0$（价格下跌）时，该项为负，使 $dp/dt$ 更负，即加速下跌
• 这正是"追涨杀跌"的数学表达：动量的变化与动量本身同向

结论：✓ 通过

5.2 约束 C2：V 对价格负反馈

原文：价值资本对价格变化产生负反馈，$\frac{d(\text{Position})}{dS} < 0$（价格上涨时减仓，价格下跌时加仓）。

方程对应：方程 (II) 中的 $-\alpha_V \cdot v \cdot x$ 项。

验证：

• 当 $x > 0$（价格高于内在价值）时，该项为负，产生向下的力，抑制上涨
• 当 $x < 0$（价格低于内在价值）时，该项为正，产生向上的力，抑制下跌
• 这正是均值回归的力学机制

结论：✓ 通过

5.3 约束 C3：L 对价格无方向反馈

原文：流动性资本对价格变化无方向性反应，$\frac{d(\text{Position})}{dS} \approx 0$。

方程对应：方程 (I) 和 (II) 中，$l$ 只出现在分母位置，不产生方向性的漂移项。

验证：

• $l$ 影响的是价格冲击的幅度（$1/l$ 和 $\sigma/l^\beta$），而非方向
• 做市商不押注方向，只提供流动性缓冲

结论：✓ 通过

5.4 约束 C4：$M\uparrow \to \sigma\uparrow$

原文：动量资本增加导致波动率上升。

方程对应：方程 (III) 中的 $+\lambda_M \cdot m \cdot |p|$ 项。

验证：

• $m$ 增大时，$\lambda_M \cdot m \cdot |p|$ 增大
• 这直接增加 $d\sigma/dt$ 的漂移项
• 动量资本越多、动量越强，波动率越高

结论：✓ 通过

5.5 约束 C5：$\sigma\uparrow \to L\downarrow$（崩溃螺旋中）

原文：高波动率时做市商撤离。

方程对应：方程 (VI) 中的 $a_L \sigma - b_L |p|$。

验证：

• 表面上看，$a_L \sigma$ 是 L 的收益项，$\sigma\uparrow$ 应该让 L 受益
• 关键理解：原文的逻辑是，在崩溃螺旋中，高 $\sigma$ 伴随着高 $|p|$（强趋势）
• 当 $b_L |p| > a_L \sigma$ 时，L 的净收益为负，导致 $l$ 收缩
• 这正是"高波动+强趋势"环境下做市商撤离的机制

参数条件：崩溃螺旋需要 $b_L / a_L$ 足够大，使得趋势风险超过波动率收益。

结论：✓ 通过（在适当参数条件下）

5.6 约束 C6：$L\uparrow \to$ 价格冲击$\downarrow$

原文：充足的流动性会缓冲动量资本对价格的冲击。

方程对应：

• 方程 (I) 中的 $\sigma / l^\beta$：$l$ 越大，价格噪声越小
• 方程 (II) 中的 $1/l$：$l$ 越大，同样的力产生的动量变化越小

验证：

• 市场深度 $l$ 是价格冲击系数的分母
• 深度市场中，即使大额订单也难以撬动价格
• 流动性是"减震器"

结论：✓ 通过

5.7 约束 C7：V 在 $S < S^*$ 时买入，$S > S^*$ 时卖出

原文：价值资本以内在价值为锚点进行逆向操作。

方程对应：方程 (II) 中的 $-\alpha_V \cdot v \cdot x$ 项。

验证：

• $x = \ln(S/S^*)$
• 当 $S < S^*$ 时，$x < 0$，该项 $-\alpha_V v x > 0$，产生向上的力（买入压力）
• 当 $S > S^*$ 时，$x > 0$，该项 $-\alpha_V v x < 0$，产生向下的力（卖出压力）
• 力的大小与偏离程度 $|x|$ 和价值资本体量 $v$ 成正比

结论：✓ 通过

5.8 约束 C8：$V\uparrow \to |S - S^*|\downarrow$

原文：价值资本介入使价格回归内在价值。

方程对应：方程 (II) 中 $-\alpha_V \cdot v \cdot x$ 项。

验证：

• $v$ 越大，回归力 $|\alpha_V v x|$ 越强
• 强回归力使 $x$ 更快趋向零
• 价值资本是系统的"稳定器"

定量分析：在慢变量冻结的情况下，方程 (II) 关于 $x$ 的部分是： $$\dot{p} \approx -\frac{\alpha_V v}{l} x - \frac{\gamma - \alpha_M m}{l} p$$

结合 $\dot{x} = p$，这是一个二阶系统。当 $\alpha_V v > 0$ 且 $\gamma > \alpha_M m$ 时，系统稳定，$x$ 会振荡收敛到零。

结论：✓ 通过

5.9 约束 C9：M 的收益 $\propto \mu$，风险 $\propto \delta$，成本 $\propto \sigma$

原文：动量资本从趋势获利，溢价是风险，波动是成本。

方程对应：方程 (IV) 中的收益率项 $r_M = a_M |p| - b_M |x| - c_M \sigma$。

验证：

• $a_M |p|$：趋势延续（$|p|$ 大）= M 获利 ✓
• $-b_M |x|$：溢价大预示反转，是风险 ✓
• $-c_M \sigma$：高波动时止损频繁触发，是成本 ✓

结论：✓ 通过

5.10 约束 C10：V 的收益 $\propto \delta$，风险 $\propto \sigma$，成本 $\propto \mu$

原文：价值资本从价值偏离获利，波动是风险，趋势是成本。

方程对应：方程 (V) 中的收益率项 $r_V = a_V |x| - b_V \sigma - c_V |p|$。

验证：

• $a_V |x|$：溢价大 = V 的机会 ✓
• $-b_V \sigma$：高波动时面临更大浮亏，锚点也可能不稳定 ✓
• $-c_V |p|$：趋势延续时 V 需要等待更久，资金效率下降 ✓

结论：✓ 通过

5.11 约束 C11：L 的收益 $\propto \sigma$，风险 $\propto \mu$，成本 $\propto \delta$

原文：流动性资本从波动获利，趋势是风险，溢价是成本。

方程对应：方程 (VI) 中的收益率项 $r_L = a_L \sigma - b_L |p| - c_L |x|$。

验证：

• $a_L \sigma$：波动大 = 交易机会多，做市收益高 ✓
• $-b_L |p|$：趋势强时库存单向累积，面临方向性亏损 ✓
• $-c_L |x|$：溢价大时需要更大价差保护自己，效率下降 ✓

结论：✓ 通过

5.12 约束 C12：资本过剩 → 收益率下降 → 体量收缩

原文：收益率驱动的自然选择使三类资本长期共存。

方程对应：方程 (IV-VI) 中的拥挤项 $-\rho_i \cdot i$（$i = m, v, l$）。

验证：

• 以 M 为例：$dm/dt \propto m \cdot (r_M - \rho_M m)$
• 当 $m$ 过大时，$\rho_M m$ 主导，有效收益率变负，$m$ 收缩
• 这是逻辑斯蒂增长的拥挤效应
• 同样机制适用于 V 和 L，防止任何一类资本无限膨胀

结论：✓ 通过

六、正反馈回路的完整追踪

原文：$M\uparrow \to \sigma\uparrow \to L\downarrow \to \text{价格冲击}\uparrow \to \sigma\uparrow \to M\uparrow$（或爆仓）

SDE 追踪：

1. $m\uparrow$：外部冲击或收益率吸引

2. $\to \sigma\uparrow$：方程 (III) 中 $\lambda_M m |p|$ 增大，波动率上升

3. $\to l\downarrow$：方程 (VI) 中，当 $b_L |p| > a_L \sigma$ 时（强趋势超过波动收益），$l$ 收缩

4. $\to$ 价格冲击$\uparrow$：方程 (II) 中 $1/l$ 增大，同样的力产生更大的 $p$ 变化

5. $\to \sigma\uparrow$：方程 (III) 中 $\lambda_M m |p|$ 进一步增大

6. $\to m\uparrow$（或爆仓）：方程 (IV) 中：

   • 若 $a_M |p|$ 主导：$m$ 继续增长
   • 若 $b_M |x| + c_M \sigma$ 主导（溢价过大、波动过高）：$m$ 收缩（爆仓）

结论：✓ 正反馈回路完整实现

七、负反馈回路的完整追踪

原文：$|S-S^*|\uparrow \to \sigma\uparrow \to V\uparrow \to |S-S^*|\downarrow \to \sigma\downarrow \to L\uparrow$

SDE 追踪：

1. $|x|\uparrow$：外部冲击使价格偏离内在价值

2. $\to \sigma\uparrow$：价格偏离通常伴随波动（通过 $|p|$ 传导）

3. $\to v\uparrow$：方程 (V) 中 $a_V |x|$ 增大，V 的收益增加，吸引更多价值资本

4. $\to |x|\downarrow$：方程 (II) 中 $-\alpha_V v x$ 增强，回归力加大，$x$ 向零收敛

5. $\to \sigma\downarrow$：$|x|$ 和 $|p|$ 减小，方程 (III) 中波动率回落

6. $\to l\uparrow$：方程 (VI) 中，低 $|p|$ 降低 L 的风险，吸引流动性回归

结论：✓ 负反馈回路完整实现

八、相态分析验证

冷状态（000）：$\delta$ 低, $\mu$ 低, $\sigma$ 低

对应：$x \approx 0$, $p \approx 0$, $\sigma \approx \bar{\sigma}_{\text{low}}$

各资本收益率：

• $r_M = a_M \cdot 0 - b_M \cdot 0 - c_M \bar{\sigma} \approx -c_M \bar{\sigma} < 0$
• $r_V = a_V \cdot 0 - b_V \bar{\sigma} - c_V \cdot 0 \approx -b_V \bar{\sigma} < 0$
• $r_L = a_L \bar{\sigma} - b_L \cdot 0 - c_L \cdot 0 \approx a_L \bar{\sigma}$（微正或微负）

原文描述：三方都无利可图，市场萎缩。

验证：✓ 通过

热状态（111）：$\delta$ 高, $\mu$ 高, $\sigma$ 高

对应：$|x|$ 大, $|p|$ 大, $\sigma$ 大

各资本收益率：三项都大，符号取决于参数比例，不确定。

原文描述：三方都面临极端环境，高收益高风险，系统处于临界点。

验证：✓ 通过

九、三体类比验证

原文：市场因三体势均力敌而呈现混沌行为，对初值敏感。

SDE 分析：

方程 (II) 中 $p$ 的漂移项： $$\frac{\alpha_M m - \gamma}{l} \cdot p$$

• 当 $\alpha_M m > \gamma$ 时，这是 $p$ 的正 Lyapunov 指数方向，系统对初值敏感
• 同时 $-\alpha_V v x / l$ 提供非线性耦合
• 线性不稳定 + 非线性耦合 + 噪声 = 混沌行为的经典配方

结论：✓ 通过

十、统计特性验证

波动率聚集

原文：波动率聚集是市场的 stylized fact。

SDE 实现：方程 (III) 中 $\xi \sigma dW_3$ 的乘性噪声。

机制：高 $\sigma$ 时噪声更大，$\sigma$ 更容易维持在高位。加上 $\lambda_M m |p|$ 的正反馈，聚集效应放大。

肥尾分布

原文：收益率分布呈肥尾。

SDE 实现：价格噪声 $\sigma / l^\beta \cdot dW_1$ 中，$\sigma$ 和 $l$ 都是随机的。

机制：随机波动率本身产生肥尾；$l$ 在极端情况下骤降（流动性撤离）进一步加厚尾部。

十一、总结

12 条约束全部通过。

十二、后续研究方向

1. 数值模拟：固定慢变量，模拟快变量子系统，寻找吸引子、极限环、混沌区域
2. 分岔分析：以 $m/v$ 比值为分岔参数，绘制分岔图
3. 参数校准：用真实市场数据估计参数
4. 平均化方法：利用时间尺度分离，分析慢变量的有效动力学