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Esquema de Modelado de las Variables de Estado del Mercado para la Puerta de Tres Cuerpos

Continuando con la Hipótesis de la Dinámica de Tres Cuerpos y la Concepción del Mecanismo de Puerta, este artículo detalla el esquema de modelado específico para las tres variables de estado del mercado $\delta$, $\mu$, $\sigma$.

Entrada: Secuencia de velas $(O_t, H_t, L_t, C_t, V_t)$.

1. $\mu$ (Momento): Media Móvil del Rendimiento

Sea el rendimiento logarítmico $r_t = \ln C_t - \ln C_{t-1}$. El momento se define como la media móvil exponencial del rendimiento:

$$\mu_t = \text{EMA}(r_t, n_\mu)$$

$\mu$ es la salida de la secuencia de precios después de un filtro de paso de banda, extrayendo el movimiento direccional de "frecuencia media", es decir, la tendencia. El ruido de alta frecuencia se suaviza con el EMA, y la deriva de baja frecuencia se elimina porque $r_t$ es en sí misma una diferencia.

Esto es esencialmente idéntico a la señal de una estrategia de doble media móvil: $\text{EMA}_{rápida} - \text{EMA}_{lenta}$ también es un filtro lineal de $r_t$ (se puede demostrar rigurosamente), solo que la forma de la respuesta al impulso es diferente. Por lo tanto, no hay controversia en el modelado de $\mu$; cualquier indicador de momento es una función lineal de $r_t$, la diferencia está solo en los parámetros del filtro.

2. $\sigma$ (Volatilidad): Desviación Estándar del Rendimiento

$$\sigma_t = \text{StdDev}(r_t, n_\sigma)$$

Es decir, la desviación estándar del rendimiento logarítmico dentro de una ventana móvil. Esta es la estimación más clásica de la volatilidad realizada, ampliamente utilizada en la valoración de opciones.

El cálculo de $\sigma$ contiene una operación no lineal clave: elevar al cuadrado (o tomar el valor absoluto). Esto hace que descarte la información de dirección, conservando solo la amplitud. Desde la perspectiva del procesamiento de señales, esta es una operación de detección de envolvente: primero se toma el valor absoluto/cuadrado de la señal (rectificación no lineal), luego se aplica un filtro de paso bajo (promedio de ventana móvil), obteniendo el cambio lento de la amplitud de la oscilación.

Precisamente debido a esta operación no lineal, no existe una relación lineal entre $\sigma$ y $\mu$; ambas son dimensiones de información independientes.

3. $\delta$ (Prima): Modelo de Campo Gravitacional del Volumen

3.1 Por qué $\delta$ no puede definirse como la desviación de la media móvil

En la hipótesis, $\delta = (S - S^*) / S^*$. Si se usa una media móvil como $S^*$, se puede demostrar rigurosamente que:

$$\ln S_t - \text{EMA}(\ln S_t, N) = \frac{\lambda}{\alpha} \cdot \text{EMA}(r_t, N)$$

donde $\lambda = 1 - \alpha$. Es decir, la desviación del precio respecto a la media móvil es estrictamente igual a una constante multiplicada por el EMA(r) del mismo período.

Esto significa que $\delta$ definido con medias móviles está linealmente correlacionado con $\mu$, no constituyendo una dimensión independiente. Ya sea usando una sola media móvil o una cascada de múltiples medias móviles, siempre que sea un filtro lineal, $\delta$ degenerará en una variante de $\mu$.

Para que $\delta$ sea independiente, se debe introducir una operación no lineal.

3.2 El valor intrínseco es endógeno al mercado: Efecto de Anclaje Psicológico

Creemos que el valor intrínseco $S^*$ no es una variable exógena al mercado, sino un precio de consenso "votado" por los participantes del mercado a través de su comportamiento comercial.

Observación clave: El consenso de precio entre compradores y vendedores es lo que genera volumen. Los rangos de precio con mayor volumen implican un mayor grado de reconocimiento del mercado hacia ese precio, un efecto de anclaje psicológico más fuerte.

Por lo tanto, $S^*$ no es un valor, sino una distribución: la distribución del volumen en el eje de precios. Las áreas de alta concentración de volumen son áreas de consenso (rangos de consolidación, bandas de soporte/resistencia), y las áreas de baja concentración son áreas de no consenso (zonas por las que el precio pasa rápidamente).

3.3 De puntos de anclaje discretos a un campo gravitacional continuo

Una idea natural es primero identificar las áreas de alta concentración de volumen (puntos de anclaje) y luego calcular la desviación del precio respecto a ellos. Pero la identificación de puntos de anclaje en sí misma requiere detección de picos, introduciendo una capa adicional de modelado y parámetros.

Un enfoque más limpio: No identificar explícitamente los puntos de anclaje, sino dejar que cada transacción ejerza directamente un efecto de anclaje sobre el precio actual.

Cada volumen $V_i$ negociado a un precio $P_i$ genera una "atracción gravitacional" sobre el precio actual $S_t$. Los puntos de anclaje no necesitan ser definidos; emergen naturalmente como regiones de alta densidad del campo gravitacional.

3.4 Función núcleo $K(S, P)$: Modelo Psicológico del Efecto de Anclaje

La función núcleo $K(S, P)$ describe: Para una persona que negoció a $P$, cuán fuerte es su efecto de anclaje cuando el precio cambia a $S$.

Se elige un núcleo gaussiano:

$$K(S, P) = \exp\left(-\frac{(S - P)^2}{2h^2}\right)$$

$h$ es el parámetro de ancho de banda, que representa el radio de acción del efecto de anclaje. $h$ puede establecerse como un múltiplo de la volatilidad actual $\sigma$, haciéndolo adaptativo al estado del mercado: en alta volatilidad, la tolerancia de las personas hacia el "precio razonable" es mayor.

La forma de la función núcleo codifica la hipótesis psicológica. Diferentes núcleos producirán diferentes $\delta$, lo que a su vez producirá diferentes efectos de puerta. La calidad del efecto de puerta valida, a su vez, qué modelo psicológico se acerca más a la realidad.

La primera versión utiliza un núcleo gaussiano simétrico. Sin embargo, la función núcleo podría ser asimétrica, por las siguientes razones:

Cada transacción tiene un comprador y un vendedor. A primera vista, el lado de pérdida del comprador ($S < P$) y el lado de pérdida del vendedor ($S > P$) tienen direcciones opuestas, por lo que la asimetría debería cancelarse. Pero el efecto disposición rompe esta simetría: las personas tienden a vender posiciones ganadoras y mantener posiciones perdedoras. Esto significa que la parte ganadora gradualmente abandona el mercado (el efecto de anclaje desaparece), mientras que la parte perdedora permanece en el mercado (el efecto de anclaje persiste). Después de esta "selección de supervivientes", el efecto de anclaje residual en el mercado está naturalmente sesgado hacia el lado de las pérdidas.

Además, en la mayoría de los mercados (acciones, criptomonedas) existe un sesgo alcista: hay muchos más participantes en posiciones largas que en posiciones cortas. Por lo tanto, el efecto agregado es: el efecto de anclaje en $S < P$ (lado de pérdidas de los largos) es más fuerte, y en $S > P$ (lado de ganancias de los largos) es más débil. Esto coincide con la observación empírica: los niveles de soporte suelen ser más "duros" que los de resistencia.

En el futuro, se podría considerar el uso de un núcleo normal dividido (gaussiano con diferentes anchos de banda izquierdo y derecho) para modelar esta asimetría, y verificar su significancia mediante la comparación de los efectos de puerta.

3.5 Definición de $\delta$: Gradiente del Campo Gravitacional

Se define el campo gravitacional del volumen:

$$F(S) = \sum_i V_i \cdot e^{-\kappa(t - t_i)} \cdot K(S, P_i)$$

donde $e^{-\kappa(t - t_i)}$ es la decadencia temporal: las transacciones más antiguas tienen un efecto de anclaje más débil.

$\delta$ se define como el gradiente negativo del campo gravitacional respecto al precio (es decir, la dirección y magnitud de la "fuerza de retorno"):

$$\delta_t = -\frac{\partial F}{\partial S}\bigg|_{S=S_t} = \sum_i V_i \cdot e^{-\kappa(t - t_i)} \cdot \frac{P_i - S_t}{h^2} \cdot \exp\left(-\frac{(S_t - P_i)^2}{2h^2}\right)$$

Características del comportamiento:

• $S_t$ en el centro de un área de alta concentración de volumen: las atracciones de ambos lados se cancelan simétricamente, $\delta \approx 0$ (sin prima).
• $S_t$ se desvía de un área de alta concentración: la atracción es asimétrica, $\delta$ apunta hacia el área de alta concentración (hay prima, existe una fuerza de regresión).
• $S_t$ lejos de cualquier área de volumen: todas las atracciones son débiles (entra en territorio desconocido, el efecto de anclaje desaparece).

4. Cálculo Concreto a partir de la Secuencia de Velas

4.1 Cálculo de $\mu$ y $\sigma$

Se calculan directamente a partir de la secuencia de precios de cierre, sin procesamiento especial:

r[t] = log(C[t]) - log(C[t-1])
μ[t] = EMA(r, n_μ)[t]
σ[t] = StdDev(r, n_σ)[t]

4.2 Cálculo de $\delta$: Discretización del Eje de Precios

Acumular todas las transacciones históricas una por una no es práctico. Un enfoque práctico es discretizar el eje de precios en $N$ bins, manteniendo un vector de masa gravitacional $G[1..N]$.

Paso 1: Asignación del Volumen de la Vela

El volumen $V_t$ de cada vela debe asignarse al eje de precios. Las velas solo proporcionan OHLCV, no datos tick a tick. Una aproximación razonable: distribuir $V_t$ uniformemente entre todos los bins dentro del rango $[L_t, H_t]$.

for bin_j in bins_between(L[t], H[t]):
    G[j] += V[t] / count_of_bins_between(L[t], H[t])

Paso 2: Decaimiento Temporal

Cuando llega una nueva vela, se aplica decaimiento temporal a todo el vector $G$:

G[:] *= exp(-κ)

Paso 3: Cálculo de $\delta$

δ[t] = Σ_j G[j] · (P_j - S[t]) / h² · exp(-(S[t] - P_j)² / (2h²))

Debido al rápido decaimiento del núcleo gaussiano, solo es necesario sumar sobre los bins cercanos a $S_t$ (por ejemplo, el rango donde $|P_j - S_t| < 3h$).

4.3 Diseño de los Bins

Se recomienda dividir el eje de precios logarítmicos en bins con espaciado uniforme, de modo que cada bin represente el mismo intervalo de precio porcentual. El ancho del bin debe ser mucho menor que $h$ para garantizar la suavidad de la función núcleo.

5. Independencia de las Tres Variables

Punto clave: La independencia de $\delta$ proviene de dos operaciones no lineales: la función núcleo (exponencial gaussiana) y el cálculo del gradiente, además de una fuente de información adicional (volumen). Esto evita fundamentalmente el problema de que $\delta$ degenerara en una variante de $\mu$ en el esquema de desviación de la media móvil.

6. Resumen de Parámetros

El diseño $h = c \cdot \sigma_t$ hace que el ancho de banda sea adaptativo al estado del mercado: más amplio en alta volatilidad, más estrecho en baja volatilidad. $c$ es una constante adimensional.

Referencias

• Hipótesis de la Dinámica de Tres Cuerpos en los Mercados de Capitales
• Concepción del Mecanismo de Puerta
• Resultados Experimentales de la Estrategia de Apuesta Anti-Martín